методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

  • методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
    y" +2y' +y =3e^(-x)√(x+1)
    Его общим решением является функция
     y = y*  + y**
     где y* -частное решение по методу вариации
     y** - решение соответствующего однородного уравнения
     
    Решаем однородное дифференциальное уравнение:
    y" +2y' +y = 0
    Запишем характерестическое уравнение:
    k² +2k +1=0
    (k+1)² = 0
    Получим два корня:
    k1 = k2 = -1
    Корни представляют собой два одинаковых действительных числа. Тогда фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения представляет собой две функции:
    y** = C1*e^(-x) +xC2*e^(-x)
    где С1 и С2 произвольные константы.

    Теперь найдем частное решение y* исходного уравнения
    Оно ищется в виде
       y* = C1(x)*e^(-x) +xC2(x)*e^(-x)
       Составляем систему уравнений

    {С1'(x)*y1(x) + С2'(x)*y2(x) = 0
    {С1'(x)*y1'(x) + С2'(x)*y2'(x) = y(x)

    где y1(x) = е^(-x)  y1'(x) = -е^(-x)
    y2(x) = xе^(-x)  y2'(x) = е^(-x) -xe^(-x)

    {С1'(x)*e^(-x) + С2'(x)*x*e^(-x) = 0
    {-С1'(x)*e^(-x) - С2'(x)*(e^(-x)+xe^(-x)) = 3e^(-x)(x+1)^(1/2)
    Первое и второе уравнение разделим на e^(-x) 
    { С1'(x) + x*С2'(x) = 0
    {-С1'(x) - С2'(x)*(1+x) = 3(x+1)^(1/2)

    Решае систему уравнений по методу Крамера
    Δ = I  1     х  I = 1*(-1-x)-x(-1) = -1-x +x =-1
          I -1  -1-x I

    ΔC1' = I  0                     х  I = -3x*(1+x)^(1/2)
               I 3(x+1)^(1/2)   -1-x I
               
               
    ΔC2' = I 1                  0 I = 3(1+x)^(1/2)
               I -1  3(x+1)^(1/2)I

    C1'(x) = ΔC1'/Δ =-3x*(1+x)^(1/2)/(-1) =3x*(1+x)^(1/2)
    C2'(x) = ΔC2'/Δ =3(1+x)^(1/2)/(-1) =-3(1+x)^(1/2)
    Интегрируя находим функции С1(x) и С2(x)
    C1(x)=integr(3x*(1+x)^(1/2))dx =2x(x+1)^(3/2) - (4/5)(x+1)^(5/2)
    C2(x)=integr(-3(1+x)^(1/2))dx =-2(x+1)^(3/2)

    Запишем частное решение данного уравнения
    y = (2x(x+1)^(3/2) - (4/5)(x+1)^(5/2))*e^(-x) - 2x(x+1)^(3/2)*e^(-x) + C1e^(-x) +xC2*e^(-x)




See also: