Имеется конус. В него вписан шар. На шаре сверху лежит, касаясь, горизонтальная плоскость.

Эта плоскость отрезает от конуса маленький конус, объем которого равен половине объема большого конуса.

Найти угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

Эта задача была в учебнике геометрии за 10 класс, когда я учился, в 1984 году.

Сегодня кто-нибудь возьмется ее решить?

На рисунке я показал радиус большого конуса R, высота H,

радиус малого конуса r, высота h, радиус шара a.

Но все эти величины неизвестны, даны для удобства, а угол все равно нужно найти!

  • Ну вроде решил. Тебе просто проверить молодежь или подробно объяснить решение, чтобы ты понял? Если что, я использовал свои обозначения, построй новый рисунок.
    Вершина конуса - O, O1 - точка пересечения высоты и основания меньшего конуса, пересечение высоты с основанием большего конуса O2, любая точка лежащая на основании меньшего конуса и его образующей A1, точка на основании большего конуса A2, лежащая на одной образующей с A1. Теперь рассмотрим треугольники OO1A1 и OO2A2. Они подобны по двум углам (общий угол при вершины конуса и угол образующей с основаниями(они равны так как являются соответственными при секущей-образующей+плоскости оснований параллельны)). Найдем коэффициент подобия:
    Площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия(S2/S1=k^2), стороны как коэффициент подобия(A2B2/A1B1=k). 
    Известно, что объем большего конуса - это 2 объема меньшего. Объем конуса = (1/3)*pi*S*H, где S - площадь основания, H - высота. Пусть V2 - больший конус, V1-меньший. Тогда:
    V2/V1=2
    ((1/3)*pi*S2H2)/((1/3)*pi*S1H1)=2
    S2H2/S1H1=2
    (S2/S1)*(H2/H1)=2
    k^2*k=2
    k=корень кубический из 2, или, приблизительно, 1.26. Значит, OO1=OO2/1.26, OO1=0.79OO2, а так как O1O2=OO2-OO1, то O1O2=OO2-0.79OO2=0.21*OO2.
    Для шара вписанного в конус справедливо: R=H*ctga*tg(a/2), где R - радиус шара, H - высота конуса, a - угол наклона образующей конуса к его основанию.
    R/H=ctga*tg(a/2).
    R, то есть радиус шара, равен половине O1O2. H это OO2. Найдем соотношение 0.5O1O2/OO2=0.5*(0.21OO2)/OO2=0.105.
    Имеем тригонометрическое уравнение: 0.105=ctga*tg(a/2). Решив его, получим: a=~83.26 градусов. Ответ: a=~83.26. 
    Не могу гарантировать что ошибок нет, но решение вроде верное. Да, и задача хоть и интересная, но по правде говоря сейчас задания части C в ЕГЭ сложней.

See also: