1.В  четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Доказать, что плоскость BMD перпендикулярна прямой SC, где точка M -- середина ребра SC.

2.В треугольной пирамиде SABC, в которой АВ ⊥  ВС, через точку М ребра SB проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости АВС. Известно, что АВ=10см, ВС=15 см. Найти площадь этого сечения, если SM:MB=2:3.

  • 1
    РЕШЕНИЕ
    рисунок прилагается
    В  четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны,значит все боковые грани равносторонние треугольники
    Так как 
    точка M -- середина ребра SC, то 
    ВМ - медиана, биссектриса, высота в треугольнике BSC  и  
      ВМ -перпендикуляр  к SC
    DМ - медиана, биссектриса, высота в треугольнике DSC  и  
      DМ -перпендикуляр  к SC
    ТРИ точки B,D,M  образуют плоскость  BMD, в которой лежат пересекающиеся прямые (BM) и (DM). 
    Так как  (SC)  перпендикулярна к каждой из прямых (BM) и (DM),
    следовательно плоскость BMD перпендикулярна прямой SC. 
    ДОКАЗАНО. 
    2
    РЕШЕНИЕ
    рисунок прилагается
    Так как  АВ ⊥  ВС , то основание пирамиды - прямоугольный треугольник ABC
    площадь прямоугольного треугольника S(∆ABC)=1/2 АВ*ВС = 1/2 *10*15=75
    Так как через точку М ребра SB проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости АВС, то по теореме Фалеса  эта плоскость делит боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки таким образом, что:
    ∆ASB ~ ∆KSM
    ∆ASC ~ ∆KSN
    ∆BSC ~ ∆MSN
    подобные треугольники.
    Искомое сечение ∆KMN
    Причем если SM:MB=2:3 , то коэффициент подобия k = SM/SB = 3/5
    В подобных  треугольниках соответствующие стороны пропорциональны
    KM ~ AB
    KN ~ AC
    MN ~ BC
    тогда ∆KMN ~ ∆ABC  с коэффициентом подобия k =  3/5 .
    Известно, что площади подобных треугольников относятся, как  k^2 тогда
    S(∆KMN) = k^2 * S(∆ABC) = (3/5)^2 * 75 = 27
    ответ S = 27



See also: