Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.

  • Т.к. ВМ - медиана треугольника АВС, то S(ABM)=S(MBC)Т.к. АК - медиана треугольника АВМ, * то S(ABK)=S(AKM)=S(ABM)/2=S(MBC)/2Проведем МД так, что МД || КР, тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВДМ, а МД - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РД=ДС, т.е. ВС=3ВР. По условию ВК=КМ, т.е. ВМ=2ВК. ТогдаS(KBP)=1/2*ВК*ВР*sinКВРS(МВС)=1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2ВК*3ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВРТогда  S(KBP)/S(МВС) = 1/ 6, а значит * S(KPСМ)/S(МВС) = 5/6.Сравниваем строчки, помеченные * и получаем  S(ABK) : S(KPСМ) = 2: 6/15 = 5/12